Función derivada y operaciones

La función derivada permite analizar cómo cambian funciones en diversos contextos, desde la economía hasta la ingeniería y biología.

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Objetivos de la clase:

• Comprender qué es la función derivada y cómo se calcula.
• Aprender a derivar funciones polinómicas y entender el concepto de derivadas de orden superior.
• Aplicar las derivadas a situaciones prácticas en diversas áreas, como la biología, la economía y la ingeniería.

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Contenidos:

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Actividades:

Observemos el siguiente video:

Luego de ver el video, vamos a trabajar las principales ideas presentadas.

Al finalizar, debemos realizar las tres actividades planteadas en el cuaderno de materia

https://gamma.app/docs/qdy0ympuxex8qpu

actividades :

Aquí tienes dos actividades interactivas para realizar en clase sobre el tema de derivadas:

Actividad 1: Análisis de Curvas y Optimización de Recursos

Objetivo: Aplicar el concepto de derivadas para identificar puntos críticos y optimizar una función relacionada con un problema real.

Instrucciones:

1. División en Grupos: Divide la clase en grupos de 3-4 estudiantes.
2. Problema Práctico: Imagina que cada grupo es una empresa que produce un nuevo producto. La función de costos para producir ( x ) unidades está dada por:
   [
   C(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 15
   ]
   y la función de ingresos es:
   [
   R(x) = -2x^2 + 12x + 20
   ]
3. Tarea del Grupo:

• Derivadas: Cada grupo debe calcular las derivadas de las funciones de costo e ingreso para identificar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión).
• Análisis: Usando las derivadas, los estudiantes deben determinar cuántas unidades ( x ) deben producir para maximizar las ganancias y minimizar los costos.
• Informe: Los grupos presentan un breve informe explicando su proceso de optimización y los resultados obtenidos.

1. Discusión: Al final de la actividad, cada grupo comparte sus conclusiones con el resto de la clase. Los estudiantes comparan sus estrategias y discuten por qué podrían haber llegado a diferentes respuestas.

Duración: 20 minutos

Actividad 2: Gráficas y Derivadas

Objetivo: Visualizar la relación entre una función y su derivada usando software de gráficos (como GeoGebra).

Instrucciones:

1. Introducción al Software: Los estudiantes usarán GeoGebra (o cualquier software gráfico similar) para graficar funciones y sus derivadas.
2. Ejercicio Guiado:

• Paso 1: Cada estudiante grafica la función ( f(x) = \sin(x) \cdot e^x ).
• Paso 2: Luego, deben graficar su derivada ( f'(x) ) usando la regla del producto:
  [
  f'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x
  ]
• Paso 3: Analizan cómo se comportan la función y su derivada en diferentes intervalos de ( x ). Identifican los puntos donde la derivada es cero (máximos y mínimos de la función original) y observan cómo cambia la pendiente.

1. Tarea Adicional: Los estudiantes seleccionan una función propia, la grafican junto con su derivada, y presentan sus hallazgos a la clase, explicando cómo la derivada refleja el comportamiento de la función original.

Duración: 20 minutos

Estas actividades son interactivas y fomentan el aprendizaje colaborativo, ayudando a los estudiantes a comprender el uso práctico de las derivadas en diferentes contextos.

Conclusiones:

• La función derivada es una herramienta esencial en matemáticas que nos permite entender y predecir cómo cambian diferentes fenómenos, desde el desgaste de materiales en ingeniería hasta la optimización de ganancias en economía.
• Aplicando derivadas, podemos tomar decisiones más informadas en situaciones complejas, como el diseño de estructuras seguras, la gestión eficiente de recursos en biología, o la maximización de beneficios en negocios.