Diferencial de una función

La diferencial de una función se usa para aproximar cambios en funciones usando su derivada y el incremento de la variable independiente.

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Objetivos de la clase:

• Comprender qué es la diferencial de una función y cómo se relaciona con la derivada.
• Aprender a calcular diferenciales y utilizarlas para aproximar valores de funciones.
• Aplicar el concepto de diferencial en situaciones prácticas y cotidianas.

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Contenidos:

• La diferencial de una función es una herramienta poderosa que nos permite aproximar cambios en los valores de las funciones usando su derivada.
• Esta aproximación es especialmente útil en situaciones donde realizar cálculos directos es complejo o poco práctico.
• Las aplicaciones de las diferenciales van desde ajustes rápidos en cálculos económicos hasta predicciones en biología o ingeniería, permitiendo tomar decisiones informadas basadas en datos existentes.

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Actividades:

Observemos el siguiente video:

Luego de ver el video, vamos a trabajar las principales ideas presentadas.

Al finalizar, debemos realizar las tres actividades planteadas en el cuaderno de materia

https://gamma.app/docs/sliekskdi1qqg87

Actividades:

Actividad 1: Aproximación en Física

Objetivo: Aplicar el concepto de diferencial para predecir cambios en un sistema físico.

Instrucciones:

1. Escenario: Supón que un científico está observando cómo cambia la temperatura en una reacción química. La temperatura T(t)T(t)T(t) en función del tiempo se describe por T(t)=2t3−3t2+t+5T(t) = 2t^3 – 3t^2 + t + 5T(t)=2t3−3t2+t+5.
2. Tarea: Calcula la diferencial dTdTdT cuando el tiempo ttt cambia ligeramente de 2 a 2.05 segundos.
3. Paso a Paso:
   1. Deriva la función para encontrar T′(t)T'(t)T′(t).
   2. Evalúa la derivada en t=2t = 2t=2.
   3. Calcula dTdTdT usando dt=0.05dt = 0.05dt=0.05.
4. Discusión: ¿Cómo cambia la temperatura en este pequeño intervalo? ¿Es una buena aproximación?

Duración: 15 minutos

Actividad 2: Diferencial en Economía

Objetivo: Usar diferenciales para optimizar costos en una empresa.

Instrucciones:

1. Escenario: Una empresa produce un artículo con una función de costo C(x)=5×2+3x+10C(x) = 5x^2 + 3x + 10C(x)=5×2+3x+10. Quieren saber cómo cambiarán los costos si incrementan la producción de 100 a 101 unidades.
2. Tarea: Calcula la diferencial dCdCdC y usa este valor para estimar el cambio en los costos.
3. Paso a Paso:
   1. Deriva la función de costos para encontrar C′(x)C'(x)C′(x).
   2. Evalúa la derivada en x=100x = 100x=100.
   3. Calcula dCdCdC usando dx=1dx = 1dx=1.
4. Presentación: Cada grupo presenta su resultado y discuten cómo las diferenciales pueden ayudar en la toma de decisiones empresariales.

Duración: 15 minutos

Conclusiones: