Clasificación de funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Vamos ahora a conocer criterios para clasificar funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Objetivos de la clase:
- Distinguir entre funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Representar gráficamente las diferentes clases de funciones.
- Identificar el tipo de función en ejemplos concretos.
Contenidos:
- Función inyectiva: Definición, características, representación gráfica.
- Función sobreyectiva: Definición, características, representación gráfica.
- Función biyectiva: Definición, características, representación gráfica.
- Relación entre los diferentes tipos de funciones.
- Aplicaciones de las funciones biyectivas en la vida real y en otras áreas de las matemáticas.
Actividades:
Clasificación de Funciones: Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
Introducción
Hasta ahora hemos estudiado las funciones como relaciones entre conjuntos. Ahora profundizaremos en una clasificación más detallada de las funciones, basándonos en cómo se relacionan los elementos del dominio y el codominio.
Antes de pasar a la clasificación en sí, vamos a observar un video que nos permita repasar los conceptos de dominio, codominio y rango para que podamos aplicarlos en la clasificación.
Dominio, Codominio y Rango: Un Repaso
- Dominio: Es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (generalmente “x”) para los cuales la función está definida. Es decir, son todos los valores que podemos ingresar a la función y obtener un resultado válido.
- Codominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de salida de la función (generalmente “y”). No necesariamente todos los elementos del codominio tienen que ser imágenes de elementos del dominio.
- Rango: Es el subconjunto del codominio que realmente se obtiene como imágenes de los elementos del dominio. Es decir, es el conjunto de todos los valores que la función realmente toma.
Ejemplo: Consideremos la función f(x) = x² definida en los números reales.
- Dominio: Todos los números reales (porque podemos elevar al cuadrado cualquier número real).
- Codominio: También todos los números reales (pensamos que el resultado puede ser cualquier número real).
- Rango: Solo los números reales no negativos (porque el cuadrado de cualquier número es siempre no negativo).
Funciones Inyectivas
Definición: Una función es inyectiva si cada elemento del codominio es imagen de a lo sumo un elemento del dominio. Es decir, elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas en el codominio.
Criterio: Una función f es inyectiva si f(x₁) = f(x₂) implica x₁ = x₂ para todo x₁, x₂ en el dominio.
Características:
- Prueba de la línea horizontal: Si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de la función en a lo sumo un punto, la función es inyectiva.
- No se repiten imágenes: Cada elemento del codominio tiene una única preimagen o ninguna.
Ejemplo: La función f(x) = 2x + 1 es inyectiva. Si f(x₁) = f(x₂), entonces 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1, lo que implica x₁ = x₂.
Funciones Sobreyectivas
Definición: Una función es sobreyectiva si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. Es decir, el recorrido de la función coincide con el codominio.
Criterio: Una función f es sobreyectiva si para todo y en el codominio, existe al menos un x en el dominio tal que f(x) = y.
Características:
- Todo el codominio se alcanza: La gráfica de la función cubre todo el eje de las y.
Ejemplo: La función f(x) = x² con codominio [0, ∞) es sobreyectiva. Para cualquier y ≥ 0, existe un x tal que x² = y (la raíz cuadrada de y).
Funciones Biyectivas
Definición: Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Es decir, cada elemento del codominio es imagen de exactamente un elemento del dominio.
Características:
- Correspondencia uno a uno: Existe una relación perfecta entre los elementos del dominio y el codominio.
- Función inversa: Toda función biyectiva tiene una función inversa.
Ejemplo: La función f(x) = 2x + 1 es biyectiva, ya que es tanto inyectiva como sobreyectiva.
Vamos a ver un ejemplo completo en un video para determinar si una función es biyectiva
Actividades:
- Representar gráficamente diferentes funciones y determinar si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
- Resolver problemas de aplicación que involucren la clasificación de funciones.
Conclusiones:
La clasificación de funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas es fundamental en matemáticas y tiene numerosas aplicaciones prácticas:
- Criptografía: Las funciones biyectivas se utilizan en algoritmos de cifrado para encriptar y desencriptar información.
- Teoría de conjuntos: Las funciones biyectivas establecen una correspondencia uno a uno entre conjuntos, lo que es fundamental en la teoría de cardinalidad.
- Cálculo: El concepto de función inversa está estrechamente relacionado con la noción de función biyectiva.
- Programación: La noción de inyectividad y sobreyectividad es útil en el diseño de algoritmos y estructuras de datos.
En resumen, la clasificación de funciones nos permite analizar con mayor profundidad las propiedades de las funciones y su comportamiento, lo que es esencial para resolver problemas en diversos campos de las matemáticas y las ciencias.