Composición de funciones

La composición de funciones es una operación que combina dos funciones en una sola, aplicando una función al resultado de otra.

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Objetivos de la clase:

Comprender la definición de composición de funciones y sus propiedades para aplicarlo en ejercicios prácticos y aplicados

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Contenidos:

• Definición de composición de funciones
• Propiedades y características
• Ejercicios modelo
• Aplicaciones

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Actividades:

¿Qué es la Composición de Funciones?

Imagina que tienes dos máquinas. La primera máquina toma un número, lo multiplica por 2 y luego le suma 3. La segunda máquina toma el resultado de la primera máquina y lo eleva al cuadrado. Si pasamos un número a través de ambas máquinas, en ese orden, estamos componiendo funciones.

Definición Formal:

Dadas dos funciones f(x) y g(x), la composición de f con g, denotada por (f o g)(x), se define como:

(f o g)(x) = f(g(x))

Esto significa que primero aplicamos la función g a x, y luego aplicamos la función f al resultado.

Características y Propiedades

• No es conmutativa: En general, (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). El orden en que se aplican las funciones importa.
• No siempre está definida: La composición de dos funciones solo está definida si el rango de la función interna (en este caso, g) está contenido en el dominio de la función externa (f).

Ejemplos

Ejemplo 1:

Sean f(x) = x² y g(x) = x + 1.

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)²

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1

Ejemplo 2:

Si f(x) = √x y g(x) = x – 4, ¿cuál es el dominio de (f o g)(x)?

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 4) = √(x – 4)

Para que la raíz cuadrada esté definida, x – 4 ≥ 0, es decir, x ≥ 4. Por lo tanto, el dominio de (f o g)(x) es [4, ∞).

Aplicaciones de la Composición de Funciones

La composición de funciones es una herramienta fundamental en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Algunas aplicaciones incluyen:

• Cálculo: La regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
• Física: Modelado de sistemas complejos, como la propagación de ondas.
• Economía: Análisis de modelos económicos.
• Informática: Diseño de algoritmos y programación.

Ejercicios para Practicar

1. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², encuentra (f o g)(3) y (g o f)(3).
2. Encuentra el dominio de (f o g)(x) si f(x) = 1/x y g(x) = x – 2.
3. Crea dos funciones y encuentra su composición en ambos sentidos. ¿Son iguales?
4. Investiga alguna aplicación real de la composición de funciones en un campo que te interese.

Conclusiones:

La composición de funciones nos permite construir funciones más complejas a partir de funciones más simples. Es una herramienta poderosa que tiene numerosas aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento.