Introducción: ¿Crecer sin límites?
Imaginen que tienen una planta mágica. Cada día, esta planta duplica su tamaño. Si hoy mide 1 centímetro, mañana medirá 2 centímetros, pasado mañana 4 centímetros, y así sucesivamente. ¿Creen que esta planta podría seguir creciendo así indefinidamente? ¡Es imposible! Pero este ejemplo nos lleva a un concepto matemático muy interesante: las progresiones geométricas.
Desarrollo
¿Qué es una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo que llamamos razón. Este número fijo es como el factor de crecimiento de nuestra planta mágica.
Ejemplo: La sucesión 2, 4, 8, 16, … es una progresión geométrica. ¿Por qué? Porque para pasar de un término al siguiente siempre multiplicamos por 2. En este caso, la razón es 2.
Elementos de una progresión geométrica:
- Primer término (a₁): Es el primer número de la sucesión.
- Razón (r): Es el número por el que multiplicamos un término para obtener el siguiente.
- Término general (an): Es una fórmula que nos permite calcular cualquier término de la sucesión conociendo su posición.
Término general: an = a₁ * r^(n-1)
Ejercicios resueltos:
- Hallar el quinto término de la progresión geométrica 3, 6, 12, …
- a₁ = 3
- r = 6/3 = 2
- n = 5
- a₅ = 3 * 2^(5-1) = 3 * 16 = 48
- Determinar si la sucesión 1, -2, 4, -8, … es una progresión geométrica y, en caso afirmativo, hallar su razón.
- Sí es una progresión geométrica, ya que cada término se obtiene multiplicando el anterior por -2. La razón es -2.
Ejercicios para resolver
- Escribe los primeros 5 términos de la progresión geométrica con a₁ = 5 y r = 3.
- Halla el décimo término de la progresión geométrica 2, 6, 18, …
- Determina si la sucesión 1, 4, 9, 16, … es una progresión geométrica. Justifica tu respuesta.
- En una población de bacterias, el número de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 100 bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 5 horas?
Material de apoyo
Te recomiendo el siguiente video de YouTube, que explica de forma clara y con ejemplos las progresiones geométricas:
y ahora más ejercicios