Matriz Identidad Y Matriz Inversa

La matriz identidad es el neutro en multiplicación matricial, mientras que la matriz inversa deshace operaciones, relacionándose como elementos opuestos.

---

Objetivos de la clase:

1. Comprender los conceptos de matriz identidad y matriz inversa, así como su relación en operaciones matriciales.
2. Aprender cómo construir y aplicar la matriz identidad.
3. Calcular la matriz inversa y relacionarla con la matriz identidad mediante ejemplos y ejercicios.

---

Contenidos:

1. Matriz identidad
2. Matriz inversa
3. Proceso para obtener una matriz inversa
4. Relación entre la matriz identidad y la matriz inversa
5. Ejercicios de aplicación

---

DESARROLLO

¿Qué es una matriz identidad?

La matriz identidad es una matriz cuadrada que actúa como el “1” de las matrices en la multiplicación.

• Tiene 1 en todos los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha).
• Todos los demás elementos son 0

Procedimiento para identificar una Matriz Identidad

1. La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.
2. La matriz debe tener unos (1) en la diagonal principal y ceros (0) en las otras posiciones. 

Ejercicio de aplicación

1. En cada caso, determina si es matriz identidad o no. Justifica tus respuestas

2. Multiplica A por I_2×2 para comprobar que el resultado es A, siendo

¿Qué es una Matriz inversa?

La matriz inversa A^-1 de una matriz A es aquella que, al multiplicarse con A, da como resultado la matriz identidad:

A⋅A^-1=A⁻¹⋅A=I

Relación entre matriz inversa y matriz identidad:

La matriz identidad actúa como el “resultado” de la operación entre A y A⁻¹, validando que ambas son inversas. Sin la matriz identidad, no se podría verificar si una matriz tiene inversa.

Condiciones para obtener una matriz Inversa

1. La matriz debe ser cuadrada (nxn)
2. El determinante de la matriz debe ser distinto de cero (det(A)≠0)

Antes de seguir con el proceso para obtener una matriz inversa, vamos a ver cómo encontramos el determinante de una matriz.

Determinante de una matriz

1. ¿Qué es un determinante?

El determinante de una matriz es un valor escalar que se asocia a una matriz cuadrada. Este valor tiene aplicaciones en áreas como:

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
• Calcular el área y volumen en geometría.
• Determinar si una matriz es invertible.

2. Propiedades Importantes:

• Una matriz cuadrada tiene determinante si el número de filas es igual al número de columnas.
• Si el determinante es 0, la matriz no es invertible (singular).
• Cambiar filas o columnas afecta el valor del determinante.

3. Cálculo del Determinante

Determinante de una Matriz 2×2

Determinante de una matriz 3×3

Vas a reforzar tu aprendizaje acerca de cómo encontrar el determinante de una matriz 2×2 y 3×3 entrando al siguiente enlace:

https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html

Ahora vamos a hacer ejercicios para encontrar determinantes:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/2172911

https://www.liveworksheets.com/es/node/5210516

Teniendo claro cómo se encuentra el determinante de una matriz 2×2 y 3×3 vamos a regresar al proceso para encontrar el cálculo de una matriz inversa

¿Cómo se obtiene una matriz inversa?

Inversa de una matriz 2×2

Si el determinante es distinto de 0 la matriz es invertible

Ejercicio modelo

Puedes comprobar el resultado utilizando matrixcalc.org

Inversa de una matriz 3×3. Método de cofactores – matriz adjunta

Aquí nos vamos a detener un poco porque encontrar la matriz adjunta es muy importante y es un proceso que requiere paciencia y exactitud.

La matriz adjunta se obtiene a partir de la matriz de cofactores y su transpuesta. Es clave para encontrar la matriz inversa.

Definiciones Clave

Menor:
El menor de un elemento de la matriz es el determinante de la submatriz que queda al eliminar la fila y la columna donde se encuentra ese elemento.

Cofactor:
El cofactor de un elemento es su menor multiplicado por un signo (+ o -), siguiendo el patrón:

Adjunta:
Es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Ejemplo Paso a Paso

Sea la matriz:

Paso 1: Calcular los cofactores

Paso 2: Escribir la matriz de cofactores

La matriz de cofactores queda así:

Paso 3: Encontrar la matriz adjunta

Para poder encontrar la matriz adjunta debemos transponer la matriz de cofactores, esto significa cambiar filas por columnas.

Paso 4: Encontrar el determinante de la matriz original

Paso 5: Aplicar la fórmula para la matriz inversa

Sustituyendo los datos que tenemos nos queda así:

Aplicamos la multiplicación de una matriz por un escalar y obtenemos:

Simplificamos términos para obtener la matriz inversa

Para ahondar en este método puedes observar el siguiente video:

Vas a ver ahora otro método para obtener la inversa de una matriz 3×3

Inversa de una matriz 3×3. Método Gauss Jordan

Se trabaja con la matriz original A junto a la matriz identidad I formando una matriz aumentada [ A ∣ I ]. Luego, aplicamos operaciones elementales por filas para convertir A en la identidad, y así la parte derecha se convierte en la inversa de A.

Te voy a mostrar el paso a paso:

Paso 1: Construir la matriz aumentada [ A ∣ I ]

Formamos una matriz combinada con A y la matriz identidad I:

Paso 2: Convertir la primera columna

Paso 3: Convertir la segunda columna

Paso 4: Convertir la tercera columna

Paso 5: Identificar la matriz inversa

La parte derecha es la matriz inversa.

Si quieres profundizar en este método, observa el siguiente video:

Ahora que hemos visto estos dos métodos para encontrar funciones inversas, vamos a realizar la siguiente actividad:

Actividad Individual: Encontrando la Matriz Inversa ✏️📓

---

Objetivos:

1. Calcular la inversa de una matriz 3×3 utilizando dos métodos:
   • Gauss-Jordan.
   • Adjunta/Determinante.
2. Comprobar que el producto entre la matriz y su inversa es igual a la matriz identidad.
3. Comparar los resultados y reflexionar sobre cuál método fue más claro o eficiente.

---

Instrucciones:

1. Resuelve los siguientes ejercicios paso a paso en tu cuaderno:

Matriz dada:

---

Parte 1: Encuentra la inversa usando el método de Gauss-Jordan.

• Escribe la matriz aumentada [A∣I]
• Aplica operaciones por filas para convertir la parte izquierda en la identidad.
• Copia la parte derecha como resultado de la inversa.

---

Parte 2: Encuentra la inversa usando el método de Adjunta/Determinante.

1. Calcula el determinante de la matriz.
2. Encuentra la matriz de cofactores.
3. Calcula la adjunta (transpuesta de los cofactores).
4. Aplica la fórmula:

---

Paso 3: Comprobación.

• Multiplica la matriz original por su inversa:

• Verifica que el resultado sea la matriz identidad:

---

Preguntas para Reflexionar (Responde en el cuaderno):

1. ¿Cuál método te pareció más fácil y por qué?
2. ¿Cuál método crees que es más rápido para matrices grandes?
3. ¿Cometiste errores en algún paso? ¿Cómo los corregiste?

---

Criterios de Evaluación (20 puntos):

1. Resolución correcta por Gauss-Jordan (3,5 puntos).
2. Resolución correcta por Adjunta/Determinante (3,5 puntos).
3. Comprobación precisa de la identidad (1,5 puntos).
4. Respuestas reflexivas y claras en las preguntas (1,5 puntos).

Puedes seguir ejercitando con los ejercicios en estos enlaces:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/1737232

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/7238642

Conclusiones:

Ésta ha sido una clase larga pero muy fructífera. Te dejo algunas conclusiones para que reflexiones acerca de la utilidad de este contenido.

La matriz identidad es clave en el álgebra matricial.

• Actúa como el elemento neutro en la multiplicación de matrices, ya que cualquier matriz multiplicada por la identidad no cambia.
• Sirve como referencia para verificar si una matriz tiene inversa, porque solo las matrices invertibles pueden generar la identidad al multiplicarse por su inversa.

La matriz inversa permite resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Multiplicar una matriz por su inversa produce la matriz identidad, lo que ayuda a despejar incógnitas y simplificar cálculos.
• Su existencia depende de que el determinante de la matriz original sea distinto de cero.

El método de Adjunta y Determinante es útil para cálculos manuales.

• Es un método basado en operaciones estructuradas como encontrar cofactores, la adjunta y dividir por el determinante.
• Es más accesible para matrices pequeñas (2×2 o 3×3), pero puede volverse largo y complejo para matrices más grandes.

El método de Gauss-Jordan es más práctico para matrices grandes.

• Usa operaciones elementales por filas para transformar la matriz original en la identidad, dejando la inversa como resultado en la parte derecha de una matriz aumentada.
• Aunque requiere atención a los cálculos, es más eficiente para matrices grandes y se adapta mejor al trabajo con calculadoras o programas computacionales.

Ambos métodos llevan al mismo resultado.

• La elección entre métodos depende del tamaño de la matriz y de las preferencias personales o las herramientas disponibles.
• Es esencial verificar siempre el resultado multiplicando la matriz por su inversa para comprobar que el producto es la matriz identidad.

Reflexión final:

• Conocer las inversas de matrices es fundamental para aplicaciones prácticas como resolución de sistemas de ecuaciones, transformaciones geométricas, criptografía y análisis de datos.
• Dominar estos métodos proporciona herramientas versátiles para enfrentar problemas matemáticos en campos como la ingeniería, economía y computación.

Ahora que terminamos este tema, se convierte en herramienta para resolver ecuaciones lineales, que es nuestro siguiente tema.

---