Las inecuaciones lineales expresan desigualdades, dividen la recta numérica o el plano en regiones y se resuelven algebraica o gráficamente.
Objetivos de la clase:
- Resolver inecuaciones lineales de una y dos variables aplicando propiedades algebraicas y representando soluciones en la recta numérica y el plano cartesiano.
- Interpretar y modelar situaciones reales utilizando inecuaciones lineales para analizar restricciones y límites en diferentes contextos.
Contenidos:
- Inecuaciones lineales de una variable
- Inecuaciones lineales de dos variables
DESARROLLO
¿Qué son las inecuaciones lineales?
Las inecuaciones lineales son expresiones matemáticas que muestran una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
En lugar del símbolo de igualdad (=), utilizan los siguientes símbolos:
- Mayor que (>)
- Menor que (<)
- Mayor o igual que (≥)
- Menor o igual que (≤)
1. Inecuaciones lineales de una variable
Forma general: ax+b>c
- Ejemplo:
2x−3≤7
Pasos para resolver una inecuación de una variable:
- Simplificar términos semejantes:
2x−3≤7
2x ≤10
- Aislar la variable:
x≤5
Solución gráfica:
- Representamos la solución en la recta numérica.
- Como incluye x=5 es un intervalo cerrado (●) y se sombrea hacia la izquierda.
Propiedad especial (Multiplicación/División por un número negativo):
Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Ejemplo: −3x>9
Dividimos entre -3 y cambiamos el signo: x<−3
2. Inecuaciones lineales de dos variables
Forma general: ax+by≤c
- Representan regiones en el plano cartesiano.
- Su solución es un conjunto de puntos que cumplen la desigualdad.
Ejemplo: x+y≤4
Pasos para resolver una inecuación de dos variables:
- Convertir en igualdad (línea límite):
x+y=4
- Trazar la línea recta:
- Si el signo es ≤ o ≥, la línea es sólida.
- Si el signo es < o >, la línea es discontinua.
- Determinar la región a sombrear:
- Elegimos un punto de prueba (por ejemplo, (0, 0)) y verificamos si satisface la inecuación.
- Si cumple, sombreamos el lado donde está el punto. Si no, sombreamos el lado opuesto.
En el ejemplo:
Probamos con (0, 0): 0+0≤4
Esto es verdadero, por lo que sombreamos por debajo de la línea.
Tipos de soluciones para dos variables:
- Semiplano abierto: Cuando el límite es excluyente (< o >), se representa con una línea discontinua.
- Semiplano cerrado: Cuando el límite es incluyente (≤ o ≥), se representa con una línea sólida.
Ejercicios
Inecuaciones lineales de una variable:
https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/636262
Inecuaciones lineales de dos variables:
https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/7244499
Conclusiones:
- Las inecuaciones lineales de una variable dividen la recta numérica en regiones y se resuelven aislando la incógnita
- Las inecuaciones lineales de dos variables dividen el plano en semiplanos y se representan gráficamente.
- Multiplicar o dividir por un número negativo en una inecuación invierte el signo de la desigualdad.
- Las soluciones gráficas permiten visualizar todas las combinaciones posibles que satisfacen la desigualdad.
En el siguiente tema vamos a ver como las inecuaciones y desigualdades nos ayudan a resolver problemas de programación lineal