Inecuaciones Lineales

Las inecuaciones lineales expresan desigualdades, dividen la recta numérica o el plano en regiones y se resuelven algebraica o gráficamente.

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Objetivos de la clase:

1. Resolver inecuaciones lineales de una y dos variables aplicando propiedades algebraicas y representando soluciones en la recta numérica y el plano cartesiano.
2. Interpretar y modelar situaciones reales utilizando inecuaciones lineales para analizar restricciones y límites en diferentes contextos.

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Contenidos:

1. Inecuaciones lineales de una variable
2. Inecuaciones lineales de dos variables

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DESARROLLO

¿Qué son las inecuaciones lineales?

Las inecuaciones lineales son expresiones matemáticas que muestran una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.

En lugar del símbolo de igualdad (=), utilizan los siguientes símbolos:

• Mayor que (>)
• Menor que (<)
• Mayor o igual que (≥)
• Menor o igual que (≤)

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1. Inecuaciones lineales de una variable

Forma general: ax+b>c

• Ejemplo:

2x−3≤7

Pasos para resolver una inecuación de una variable:

1. Simplificar términos semejantes:

2x−3≤7

2x ≤10

2. Aislar la variable:

x≤5

Solución gráfica:

• Representamos la solución en la recta numérica.
• Como incluye x=5 es un intervalo cerrado (●) y se sombrea hacia la izquierda.

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Propiedad especial (Multiplicación/División por un número negativo):

Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.

Ejemplo: −3x>9

Dividimos entre -3 y cambiamos el signo: x<−3

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2. Inecuaciones lineales de dos variables

Forma general: ax+by≤c

• Representan regiones en el plano cartesiano.
• Su solución es un conjunto de puntos que cumplen la desigualdad.

Ejemplo: x+y≤4

Pasos para resolver una inecuación de dos variables:

1. Convertir en igualdad (línea límite):

x+y=4

2. Trazar la línea recta:

• Si el signo es ≤ o ≥, la línea es sólida.
• Si el signo es < o >, la línea es discontinua.

3. Determinar la región a sombrear:

• Elegimos un punto de prueba (por ejemplo, (0, 0)) y verificamos si satisface la inecuación.
• Si cumple, sombreamos el lado donde está el punto. Si no, sombreamos el lado opuesto.

En el ejemplo:
Probamos con (0, 0): 0+0≤4

Esto es verdadero, por lo que sombreamos por debajo de la línea.

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Tipos de soluciones para dos variables:

1. Semiplano abierto: Cuando el límite es excluyente (< o >), se representa con una línea discontinua.
2. Semiplano cerrado: Cuando el límite es incluyente (≤ o ≥), se representa con una línea sólida.

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Ejercicios

Inecuaciones lineales de una variable:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/636262

Inecuaciones lineales de dos variables:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/7244499

Conclusiones:

1. Las inecuaciones lineales de una variable dividen la recta numérica en regiones y se resuelven aislando la incógnita
2. Las inecuaciones lineales de dos variables dividen el plano en semiplanos y se representan gráficamente.
3. Multiplicar o dividir por un número negativo en una inecuación invierte el signo de la desigualdad.
4. Las soluciones gráficas permiten visualizar todas las combinaciones posibles que satisfacen la desigualdad.

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En el siguiente tema vamos a ver como las inecuaciones y desigualdades nos ayudan a resolver problemas de programación lineal