Es una herramienta matemática que nos permite tomar decisiones óptimas en situaciones donde tenemos restricciones.
Objetivos de la clase:
- Comprender los conceptos básicos de la programación lineal e identificar los elementos de un problema.
- Resolver problemas de programación lineal utilizando métodos gráficos y herramientas tecnológicas, interpretando correctamente los resultados.
Contenidos:
- Conceptos básicos de programación lineal
- Formulación matemática de problemas de programación lineal
- Métodos de resolución
- Aplicaciones prácticas
DESARROLLO
¿Qué es la programación lineal?
Es una herramienta matemática que nos permite tomar decisiones óptimas en situaciones donde tenemos restriciones.
Por ejemplo: elegir la mejor ruta para ir al colegio, decidir qué productos comprar con un presupuesto limitado, ué cantidad de productos nos salen con cantidades específicas de ingredientes, cómo poner precio a los productos, cómo planear una dieta balanceada, etc.
Elementos básicos de un problema de programación lineal
- Variables de decisión:
- Explicar que son las incógnitas del problema, lo que queremos determinar.
- Ejemplos: cantidad de un producto a producir, número de horas de trabajo, etc.
- Función objetivo:
- Definirla como la expresión que queremos maximizar o minimizar (ganancias, costos, etc.).
- Destacar que es una función lineal.
- Restricciones:
- Explicar que son las limitaciones del problema, expresadas como desigualdades o igualdades lineales.
- Ejemplos: capacidad de producción, disponibilidad de recursos, etc.
- Conjunto de soluciones factibles:
- Visualizar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones.
- Introducir el concepto de región factible.
Paso a paso
- Plantear un problema:
- Proponer un problema sencillo y realista, como la producción de dos tipos de productos en una fábrica, considerando limitaciones de materia prima y tiempo de producción.
- Formular el modelo matemático:
- Identificar las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones.
- Escribir el modelo de forma clara y organizada.
- Resolver gráficamente:
- Representar gráficamente las restricciones y determinar la región factible.
- Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible para encontrar la solución óptima.
- Interpretar los resultados:
- Explicar el significado de la solución óptima en el contexto del problema.
Ejercicio modelo
Problema:
Una fábrica produce dos tipos de productos: A y B. Para fabricar un producto A se necesitan 2 horas de mano de obra y 3 kg de materia prima, mientras que para un producto B se necesitan 3 horas de mano de obra y 2 kg de materia prima. La fábrica dispone de 120 horas de mano de obra y 100 kg de materia prima por semana. Si el beneficio por unidad de producto A es de $5 y por unidad de producto B es de $6, ¿cuántas unidades de cada producto debe fabricar la fábrica para maximizar sus beneficios?
Solución Manual:
- Definir las variables de decisión:
- x: número de unidades del producto A
- y: número de unidades del producto B
- Escribir la función objetivo:
- Maximizar Z = 5x + 6y (beneficio total)
- Escribir las restricciones:
- 2x + 3y ≤ 120 (restricción de mano de obra)
- 3x + 2y ≤ 100 (restricción de materia prima)
- x ≥ 0, y ≥ 0 (restricciones de no negatividad)
- Representar gráficamente las restricciones:
- Graficar las rectas 2x + 3y = 120 y 3x + 2y = 100.
- Identificar la región factible (la zona que cumple con todas las restricciones).
- Encontrar los vértices de la región factible:
- Calcular las coordenadas de los puntos de intersección de las rectas.
- Evaluar la función objetivo en cada vértice:
- Sustituir las coordenadas de cada vértice en la función objetivo y determinar cuál proporciona el valor máximo.
- Interpretar la solución:
- El vértice que maximiza la función objetivo indica la cantidad de productos A y B que se deben producir para obtener el máximo beneficio.
Para profundizar, vamos a observar este video:
Ejercicios
Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Grafica cada una de las restricciones
Vamos ahora a ver cómo podemos utilizar una aplicación para poder resolver los ejercicios
https://www.liveworksheets.com/es/node/3609289
Y un último video para cerrar la clase
Conclusiones:
Las restricciones se obtienen a partir de las limitaciones impuestas por los recursos disponibles. Cada restricción se expresa como una desigualdad que relaciona las variables de decisión (x e y) con los recursos disponibles. Las restricciones de no negatividad garantizan que el número de unidades producidas sea siempre positivo o cero.