Multiplicación De Matrices

La multiplicación de matrices combina elementos de filas y columnas, generando una nueva matriz bajo condiciones específicas de tamaño compatible

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Objetivos de la clase:

La multiplicación de matrices combina elementos de filas y columnas, generando una nueva matriz bajo condiciones específicas de tamaño compatible

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Contenidos:

• Definición de multiplicación de matrices
• Condiciones para poder multiplicar matrices
• Algoritmo para poder multiplicar matrices
• Ejercicios modelo
• Ejercicios de aplicación

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DESARROLLO

Multiplicación de matrices

Objetivos:

¿Qué es la multiplicación de matrices?

La multiplicación de matrices es una operación matemática que combina dos matrices para producir una nueva matriz. En esta operación, los elementos de las filas de la primera matriz se combinan con los elementos de las columnas de la segunda matriz mediante productos y sumas.

Si A es una matriz de tamaño m×n y B es una matriz de tamaño n×p, entonces el producto AB es una matriz de tamaño m×p.

Restricciones o condiciones para multiplicar matrices:

1. El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
   • Si A es de tamaño m×n y B es de tamaño n×p, la multiplicación es posible.
2. El tamaño de la matriz resultante será m×p.
   • Es decir, las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda matriz determinan las dimensiones del producto.

Ejemplo de restricción:

• A (2×3) y B (3×4) se pueden multiplicar porque 3=3.
• A (2×3) y C(2×4) no se pueden multiplicar porque 3≠2.

Paso a paso de la multiplicación de matrices:

1. Verificar condiciones:
   Asegúrate de que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
2. Establecer el tamaño del resultado:
   La nueva matriz tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda.
3. Realizar el producto fila-columna:
   • Toma una fila de la primera matriz y una columna de la segunda.
   • Multiplica los elementos correspondientes de la fila y la columna.
   • Suma los productos obtenidos.
4. Repetir para cada posición de la matriz resultado:
   Realiza este procedimiento para cada combinación de fila y columna.

Paso 1: Multiplica la primera fila de A por la primera columna de B:

(1⋅5)+(2⋅7)=5+14=19. Éste es el valor para AB₁₁

Paso 2: Multiplica la primera fila de A por la segunda columna de B:

(1⋅6)+(2⋅8)=6+16=22. Éste es el valor para AB₁₂

Paso 3: Multiplica la segunda fila de A por la primera columna de B:

(3⋅5)+(4⋅7)=15+28=43. Éste es el valor para AB₂₁

Paso 4: Multiplica la segunda fila de A por la segunda columna de B:

(3⋅6)+(4⋅8)=18+32=50. Éste es el valor para AB₂₂

Resultado:

Ejercicio modelo 1: Multiplicación de matrices cuadradas 2×2

Paso 1: Verificar dimensiones

• A es de tamaño 2×2
• B es de tamaño 2×2
• Como el número de columnas de A (2) es igual al número de filas de B (2), la multiplicación es posible.
• El resultado será una matriz de tamaño 2×2.

Paso 2: Calcular cada elemento de la matriz resultado

La fórmula general para el elemento en la posición (i,j) es:

Esto significa multiplicar los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B y sumar los resultados.

Si consideramos C = AB, entonces:

Elemento C₁₁: Primera fila de A y primera columna de B:

C₁₁=(2⋅1)+(0⋅2)=2+0=2

Elemento C₁₂​: Primera fila de A y segunda columna de B:

C₁₂=(2⋅4)+(0⋅5)=8+0=8

Elemento C₂₁​: Segunda fila de A y primera columna de B:

C₂₁=(−1⋅1)+(3⋅2)=−1+6=5

Elemento C₂₂​: Segunda fila de A y segunda columna de B:

C₂₂=(−1⋅4)+(3⋅5)=−4+15=11

Paso 3: Escribir la matriz resultado

Ejercicio Modelo 2: Comprobar compatibilidad de matrices y realizar la multiplicación

Dadas las matrices:

1. Verifica si C⋅D es posible.
2. Si es posible, realiza la multiplicación.

Paso 1: Verificar dimensiones

• C es de tamaño 2×3
• D es de tamaño 3×2
• El número de columnas de C (3) es igual al número de filas de D (3), por lo tanto, la multiplicación es posible.
• El resultado será una matriz de tamaño 2×2

Paso 2: Calcular cada elemento de la matriz resultado

Paso 3: Escribir la matriz resultado

Comprueba los resultados de los dos ejercicios modelo con la aplicación

https://matrix.reshish.com/

Tarea de clase:

Realizar las actividades que se encuentran en los siguientes enlaces:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/1033782

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/7592684

¡Excelente trabajo hasta ahora! Antes de cerrar el tema, quiero invitarte a que profundices aún más sobre la multiplicación de matrices viendo este video. Es muy visual y seguro te ayudará a reforzar lo que aprendimos hoy. Aquí está el enlace:

¡No te lo pierdas!

Conclusiones:

Ahora que hemos trabajado juntos en este tema, quiero que te lleves estas ideas clave:

1. La multiplicación de matrices no es como la multiplicación común.
   No siempre se puede hacer. Para que funcione, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda.
2. El tamaño de la matriz resultado es importante.
   La matriz final tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda matriz.
3. La clave está en combinar filas y columnas.
   Cada elemento de la matriz resultante proviene de multiplicar los valores de una fila de la primera matriz por los valores de una columna de la segunda, sumando los productos.
4. Práctica, práctica y más práctica.
   Aunque parece complicado al principio, todo es cuestión de seguir el método paso a paso hasta que se vuelva más fácil.

Recuerda: la multiplicación de matrices es una herramienta súper útil, no solo en matemáticas, sino también en áreas como la física, economía y gráficos por computadora. ¡Sigue practicando y verás cómo lo dominas! En el siguiente tema vamos a ver matriz identidad y matriz inversa y verás cómo se aplica la multiplicación de matrices.