Sistemas De Ecuaciones Lineales

Exploramos ecuaciones lineales, métodos algebraicos y gráficos para resolverlas, aplicando técnicas paso a paso y verificando soluciones.

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Objetivos de la clase:

1. Reconocer la estructura de una ecuación lineal y sus componentes.
2. Resolver ecuaciones lineales en una, dos y tres variables usando métodos algebraicos, gráficos y Gauss-Jordan.
3. Aplicar soluciones de ecuaciones lineales a problemas prácticos y comprobar resultados.

Contenidos:

1. Estructura de una ecuación lineal y sus componentes
2. Métodos para resolver ecuaciones lineales de una, dos y tres variables
3. Ejercicios de aplicación

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DESARROLLO

¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una igualdad matemática que representa una relación entre variables mediante operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Su característica principal es que las variables involucradas tienen un grado 1 (es decir, no están elevadas al cuadrado, cubo u otras potencias).

Forma general:

ax+b=0

donde:

• a y b son números reales (constantes).
• x es la variable.
• a ≠ 0 para que sea lineal.

¿Para qué se utilizan las ecuaciones lineales?

Las ecuaciones lineales se utilizan para:

1. Resolver problemas cotidianos:
   • Calcular precios, presupuestos o ganancias.
   • Determinar velocidades, tiempos y distancias.
2. Modelar situaciones reales:
   • En economía, para representar ingresos y gastos.
   • En física, para describir movimientos rectilíneos.
3. Analizar sistemas:
   • Resolver problemas con múltiples variables (sistemas de ecuaciones).
   • Aplicaciones en ingeniería, estadística y programación lineal.
4. Gráficas y geometría:
   • Representar líneas rectas en un plano cartesiano.
   • Analizar pendientes, intersecciones y áreas.b

Podemos encontrar también ecuaciones lineales de 2 o más variables que se ven de la siguiente forma:

Dos variables: ax + by = c

Tres variables: ax + by + cz = d

Cuando tenemos dos o más variables, hablamos de “Sistemas de ecuaciones lineales”porque están compuestos por dos o más ecuaciones lineales que deben cumplirse simultáneamente.

En un sistema, todas las ecuaciones comparten una o más variables, lo que significa que la solución debe satisfacer todas las ecuaciones al mismo tiempo.

Métodos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales de una variable

Una ecuación lineal de una variable es una igualdad matemática que muestra una relación entre una incógnita (variable) y números reales. Su característica principal es que la variable aparece con exponente 1, lo que garantiza que su gráfica será una línea recta.

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Forma general:

ax+b=0

• a y b son números reales (coeficientes).
• x es la variable (la incógnita).
• a ≠ 0, porque si a=0a = 0a=0, ya no sería una ecuación lineal.

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Ejemplo:

3x+5=11

Aquí:

• 3 es el coeficiente.
• x es la variable.
• 5 y 11 son números constantes.

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¿Qué significa resolverla?

Resolver una ecuación lineal significa encontrar el valor de la variable (xxx) que hace que la igualdad sea verdadera.

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Pasos para resolver una ecuación lineal de una variable:

Respuesta final:

El valor de x es dos

Comprobación

Sustituimos el resultado en la ecuación original:

La igualdad es verdadera, por lo que la solución es correcta.

Ejercicios

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/293269

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/1388225

Ecuaciones lineales de dos variables

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales de dos variables?

Un sistema de ecuaciones lineales de dos variables está formado por dos ecuaciones lineales que deben cumplirse simultáneamente.

¿Qué representa gráficamente?

Cada ecuación representa una línea recta en el plano cartesiano. Resolver el sistema significa encontrar el punto de intersección de esas líneas, ya que ese punto satisface ambas ecuaciones.

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Tipos de soluciones posibles:

Solución única (sistema consistente y determinado):

• Las rectas se cruzan en un único punto
• El sistema tiene solución

Infinitas soluciones (Sistema consistente e indeterminado):

• Las rectas coinciden (son la misma línea).
• Hay infinitas soluciones.

Sin solución (Sistema inconsistente):

• Las rectas son paralelas y no se cruzan.
• El sistema no tiene solución.

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Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales

Método gráfico

Consiste en graficar cada ecuación y encontrar el punto donde se cortan (una sola solución), si son la misma recta (soluciones infinitas) o si son paralelas (no hay solución).

Puedes revisar este video para tener una mejor comprensión del método gráfico:

Ejercicios

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/1294708

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/685306

Métodos analíticos

Además tenemos tres métodos analíticos (reducción, sustitución, igualación) que vamos a revisar en el siguiente video:

Ejercicios:

Por reducción:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/292894

Por igualación:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/1369586

Por sustitución:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/2318444

Regla de Cramer

En esta forma de solución de ecuaciones de dos incógnitas, utilizamos determinantes. Observa el siguiente video:

Ejercicios:

https://www.liveworksheets.com/es/w/es/matematicas/977817

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Ecuaciones lineales de tres variables

Antes de comenzar con los métodos de resolución de sistemas lineales de tres variables me gustaría que entiendas qué significa tener tres variables.

Observa el siguiente video:

Ejercicios:

Graficar en Geogebra 3D la siguiente ecuación lineal 2x + 6y – 4z = 12. Utiliza las herramientas aprendidas en el video.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres variables son válidos el método gráfico y los métodos analíticos que utilizamos en ecuaciones lineales de dos variables. Sin embargo, quiero que conozcas el método de Gauss Jordan para que apliques los conocimientos de matriz inversa que aprendimos en la clase de matrices.

Pon atención al siguiente video:

Como éste es un proceso nuevo, te sugiero que copies el paso a paso en tu cuaderno.

Observa el siguiente video, es otro ejemplo

Habiendo visto los dos videos, es momento de intentar resolver un sistema lineal de ecuaciones con tres variables.

Ejercicio

Resuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de Gauss Jordan

Conclusiones:

1. Ecuaciones lineales de una variable:
   • Representan relaciones simples en línea recta.
   • Se resuelven aplicando operaciones algebraicas básicas para despejar la incógnita.
   • Son útiles para modelar problemas cotidianos como precios, distancias y tiempos.
2. Ecuaciones lineales de dos variables:
   • Representan rectas en un plano cartesiano.
   • Su solución puede ser única (intersección en un punto), infinitas soluciones (rectas coincidentes) o ninguna solución (rectas paralelas).
   • Se pueden resolver mediante sustitución, eliminación, igualación o gráficamente.
   • Aplicaciones comunes incluyen sistemas de ecuaciones en economía, física e ingeniería.
3. Ecuaciones lineales de tres variables:
   • Representan planos en un espacio tridimensional.
   • Su solución puede ser un punto (intersección única), una línea (infinitas soluciones) o ninguna solución (planos paralelos o sin intersección).
   • Se resuelven eficientemente usando el método de Gauss-Jordan o Regla de Cramer para simplificar cálculos.
4. Métodos de resolución:
   • Métodos algebraicos (sustitución, eliminación e igualación): Ideales para sistemas pequeños.
   • Métodos gráficos: Útiles para visualizar soluciones en sistemas de dos variables.
   • Método de Gauss-Jordan: Potente para resolver sistemas grandes y obtener soluciones organizadas mediante matrices.
   • Regla de Cramer: Aplicable a sistemas cuadrados donde los determinantes simplifican los cálculos.
5. Interpretación geométrica:
   • Los gráficos ayudan a comprender mejor las soluciones de los sistemas, mostrando cómo las ecuaciones representan líneas y planos en distintos espacios.
6. Importancia práctica:

Las ecuaciones lineales son fundamentales en matemáticas aplicadas, optimización, programación lineal y modelado de situaciones reales en economía, física e ingeniería.

Pasaremos a este tema donde aplicaremos desigualdades