Las medidas de posición, también conocidas como cuantiles, nos ayudan a dividir un conjunto de datos en partes iguales y a entender la distribución de los datos. Las principales medidas de posición son los cuartiles, los deciles y los percentiles. En esta lección, aprenderemos cómo calcular cada una de estas medidas y su importancia con ejemplos prácticos.
Learning Goals
- Comprender los cuartiles: Serás capaz de explicar qué son los cuartiles y cómo se utilizan para dividir un conjunto de datos en cuatro partes iguales.
- Calcular los deciles: Aprenderás a calcular los deciles y entenderás cómo estos dividen un conjunto de datos en diez partes iguales, ayudándote a analizar la distribución de los datos.
- Determinar los percentiles: Serás capaz de calcular los percentiles y comprender cómo estos dividen un conjunto de datos en cien partes iguales, proporcionando una medida detallada de la posición de los datos.
- Interpretar las medidas de posición: Podrás interpretar los cuartiles, deciles y percentiles para entender mejor la distribución y posición de los datos dentro de un conjunto.
- Aplicar las medidas de posición: Utilizarás las medidas de cuartiles, deciles y percentiles para resolver problemas prácticos y analizar datos en situaciones del mundo real.
CONTENIDO
Cuartiles
Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales. Los cuartiles principales son el primer cuartil (Q1), el segundo cuartil (Q2 o mediana) y el tercer cuartil (Q3).
Cálculo de Cuartiles:
- Q1 (Primer Cuartil): Divide el 25% inferior de los datos.
- Q2 (Mediana): Divide los datos a la mitad.
- Q3 (Tercer Cuartil): Divide el 75% inferior de los datos.
Ejemplo con 7 datos:
Datos: 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21
- Ordenar los datos: 3, 5, 7, 8, 12, 14, 21
- Calcular Q1 (25% de los datos): Q1 está en la posición (7+1)/4=2(7+1)/4 = 2 -> Q1 = 5
- Calcular Q2 (50% de los datos): Q2 está en la posición (7+1)/2=4(7+1)/2 = 4 -> Q2 = 8
- Calcular Q3 (75% de los datos): Q3 está en la posición 3(7+1)/4=63(7+1)/4 = 6 -> Q3 = 14
Ejemplo con 8 datos:
Datos: 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 15
- Ordenar los datos: 3, 5, 7, 8, 12, 14, 15, 21
- Calcular Q1 (25% de los datos): Q1 está en la posición (8+1)/4=2.25(8+1)/4 = 2.25 -> Q1 = 5 + 0.25*(7-5) = 5.5
- Calcular Q2 (50% de los datos): Q2 está en la posición (8+1)/2=4.5(8+1)/2 = 4.5 -> Q2 = 8 + 0.5*(12-8) = 10
- Calcular Q3 (75% de los datos): Q3 está en la posición 3(8+1)/4=6.753(8+1)/4 = 6.75 -> Q3 = 14 + 0.75*(15-14) = 14.75
Ejemplo con 11 datos:
Datos: 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 15, 18, 10, 6
- Ordenar los datos: 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 21
- Calcular Q1 (25% de los datos): Q1 está en la posición (11+1)/4=3(11+1)/4 = 3 -> Q1 = 6
- Calcular Q2 (50% de los datos): Q2 está en la posición (11+1)/2=6(11+1)/2 = 6 -> Q2 = 10
- Calcular Q3 (75% de los datos): Q3 está en la posición 3(11+1)/4=93(11+1)/4 = 9 -> Q3 = 15
Deciles
Los deciles dividen los datos en diez partes iguales. Por ejemplo, el D1 es el primer decil y divide el 10% inferior de los datos, mientras que el D9 divide el 90% inferior de los datos.
Ejemplo:
Para un conjunto de datos ordenados, el D3 (tercer decil) estará en la posición 3(n+1)/103(n+1)/10.
Percentiles
Los percentiles dividen los datos en cien partes iguales. Por ejemplo, el P25 es el percentil 25 y divide el 25% inferior de los datos.
Ejemplo completo:
Consideremos el siguiente conjunto de datos de las notas de un examen de matemáticas: 7, 8, 7, 6, 9, 10, 6, 8, 7, 9, 5.
- Ordenar los datos: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
- Calcular Cuartiles:
- Q1: (11+1)/4=3(11+1)/4 = 3 -> Q1 = 6
- Q2: (11+1)/2=6(11+1)/2 = 6 -> Q2 = 7
- Q3: 3(11+1)/4=93(11+1)/4 = 9 -> Q3 = 9
- Calcular Deciles:
- D3: 3(11+1)/10=3.63(11+1)/10 = 3.6 -> D3 = 6 + 0.6*(7-6) = 6.6
- Calcular Percentiles:
- P25: 25(11+1)/100=325(11+1)/100 = 3 -> P25 = 6
- P50: 50(11+1)/100=650(11+1)/100 = 6 -> P50 = 7
- P75: 75(11+1)/100=975(11+1)/100 = 9 -> P75 = 9
Aplicaciones
Evaluación Académica y Pruebas Estandarizadas:
- Los percentiles se usan para posicionar a un estudiante en relación con el rendimiento de un grupo. Por ejemplo, si un estudiante está en el percentil 90 en un examen, significa que su desempeño fue mejor que el 90% de los participantes. Esto ayuda a identificar niveles de excelencia o áreas que necesitan mejora.
Análisis de Distribuciones Salariales:
- Los cuartiles son útiles para analizar la distribución de salarios en una empresa o sector. Por ejemplo, el primer cuartil (Q1) indica el salario por debajo del cual se encuentra el 25% de los empleados, mientras que el tercer cuartil (Q3) muestra el salario por debajo del cual está el 75%. Esto ayuda a identificar desigualdades salariales y establecer políticas de compensación.
Estudios de Mercado y Segmentación de Clientes:
- Los cuantiles se utilizan para dividir una población en segmentos según sus características, como ingresos, consumo o calificaciones crediticias. Por ejemplo, en un estudio de mercado, los deciles pueden segmentar a los clientes para identificar el 10% con mayor capacidad de compra, permitiendo dirigir campañas de marketing específicas.