Multiplicación de un vector por un escalar

Aclaremos algo: ¿Qué es un escalar?

Un escalar es un concepto fundamental en matemáticas y física que representa una cantidad con solo magnitud y no tiene dirección. A diferencia de los vectores, que tienen tanto magnitud como dirección, los escalares están completamente definidos por un valor numérico.

Características de los escalares:

• Magnitud: Tienen una magnitud que puede ser positiva, negativa o cero.
• Independencia Direccional: No tienen dirección asociada. Por ejemplo, la temperatura y la masa son cantidades escalares porque solo necesitas un valor numérico para describirlas.
• Operaciones: Puedes sumar, restar, multiplicar y dividir escalares de manera simple. Por ejemplo, si tienes dos masas, puedes sumarlas directamente para obtener la masa total.

Ejemplos de escalares:

1. Temperatura: 25°C o 77°F.
2. Tiempo: 10 segundos.
3. Longitud: 5 metros.
4. Volumen: 3 litros.

Multiplicación de un escalar por un vector

Multiplicar un escalar por un vector implica escalar (ajustar el tamaño) del vector original por un valor dado. Si tienes un escalar k y un vector v=(v₁,v₂), el resultado de la multiplicación es un nuevo vector (k⋅v₁,k⋅v₂). Básicamente, multiplicas cada componente del vector original por el escalar.

Ejemplo gráfico:

Pongamos el siguiente vector A:

Si multiplicamos el escalar 3 por el vector A, es decir, 3A, obtenemos un nuevo vector en la misma dirección de A, pero de tres veces el tamaño de A, así:

Además, si el escalar fuera un valor negativo, por ejemplo, -2, entonces -2A equivale a dos veces el vector A, pero en sentido contrario, así:

De forma analítica

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De forma analítica, si el vector está expresado en coordenadas polares o geográficas:

• Si el escalar es un número positivo, nada más se multiplica por el módulo. El ángulo queda intacto.
• Si el escalar es un número negativo, suceden dos cosas: 1. se multiplica por el módulo (pero debe dejarse el nuevo módulo resultante como positivo), y 2. El ángulo en coordenadas geográficas es el mismo, y solo cambian los puntos cardinales por sus opuestos. En cambio, el ángulo en coordenadas polares debe sumar o restar 180° (cualquiera de las dos operaciones que me dé como resultado un nuevo ángulo positivo).

Ejemplo1:

• Escalar: k=3
• Vector Polar Original: v=(r=5,θ=45°)
• Resultado: k⋅v = (3 ⋅ 5, 45°) = (15, 45°)
• Interpretación: El nuevo vector tiene una magnitud de 15 y el mismo ángulo de 45 grados.

Ejemplo 2:

Supongamos que tenemos un vector de desplazamiento en coordenadas geográficas:

• Vector Original: (50 km, N 45° E).
• Escalar: k=−2.

Al multiplicar el vector por el escalar negativo:

• Nueva Magnitud: 2 ⋅ 50 km = 100 km
• Nueva Dirección: S 45° O (cambian los puntos cardinales por sus opuestos)
• Resultado: El nuevo vector sería un desplazamiento de 100100 km en dirección 225∘225^\circ (o sea, 45 grados Suroeste).
• Interpretación: El vector original de 50 km hacia 45 grados Noreste se transforma en un vector de 100 km y 45 grados Suroeste al multiplicarlo por -2.

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De forma analítica, si el vector está expresado en coordenadas rectangulares:

• Simplemente se multiplica el escalar con cada uno de los componentes (x y y), es decir, de forma distributiva, obteniéndose un vector con nuevas componentes x y y. No hay que olvidar la ley de signos.

Ejemplos:

Escalar y vector:

• Escalar: k=3
• Vector: v=(2,4)
• Resultado: 3 ⋅ v = (3 ⋅ 2, 3 ⋅ 4) = (6,12)

Escalar negativo y vector:

• Escalar: k=−2
• Vector: v=(5,−3)
• Resultado: −2 ⋅ v = (−2 ⋅ 5, −2 ⋅ (−3)) = (−10,6)