
Ā”Bienvenidos a una aventura matemĆ”tica! Hoy nos sumergiremos en el fascinante mundo de las ecuaciones e inecuaciones de una variable. ImagĆnate que estamos armando un rompecabezas, donde cada pieza es un nĆŗmero o una letra que debemos colocar en el lugar correcto para resolver el misterio. ĀæTe gustarĆa dominar la tĆ©cnica para resolver ecuaciones desde las mĆ”s sencillas hasta las mĆ”s complejas usando el mĆ©todo de Ruffini? Ā”AcompƔƱame en este viaje y descubre que las matemĆ”ticas pueden ser tan emocionantes como resolver un enigma!
Learning goals:
- Entender el concepto de ecuaciones e inecuaciones de una variable.
- Identificar y resolver ecuaciones de primer a quinto grado factorizables en factores binomiales de primer grado.
- Aplicar el mƩtodo de Ruffini para resolver ecuaciones e inecuaciones.
- Desarrollar habilidades de factorización y simplificación de ecuaciones.
- Resolver ejercicios prƔcticos para consolidar el aprendizaje.
Ecuaciones de una Variable
Ecuaciones de Primer Grado
Una ecuación de primer grado tiene la forma ax+b=0. La solución de esta ecuación es sencilla:


Ecuaciones de Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax2+bx+c=0. Si es factorizable, podemos resolverla usando factores binomiales de primer grado.

Ecuaciones de Tercer Grado
Para una ecuación de tercer grado factorizable, podemos usar el método de Ruffini.

Ecuaciones de Grados Superiores
Para ecuaciones de grados superiores, el proceso es similar, pero con mÔs pasos de factorización y uso del método de Ruffini.
Para factorizar a través de Ruffini, puedes ver los videos que se encuentran en la sección Resources de esta lección.
Para resolver en clase:


Inecuaciones de una Variable
Recordemos algunas cosas:
Elementos de la inecuación


Miembros: En una inecuación, los miembros son las dos expresiones que se encuentran a cada lado del sĆmbolo de la inecuación. Por ejemplo, en la inecuación 2x+3>5, los miembros son, el de la izquierda (primer miembro) 2x+3, y el de la derecha (segundo miembro) 5.
TĆ©rminos: Los tĆ©rminos son los elementos individuales que componen los miembros de la inecuación, separados los los sĆmbolos de suma (+) y resta (-). Estos pueden ser nĆŗmeros, variables o productos de nĆŗmeros y variables. En la inecuación 2x+3>5, los tĆ©rminos son 2x y 3 en el primer miembro, y 5 en el segundo miembro.
Variable: La variable es el sĆmbolo que representa un valor desconocido que queremos determinar. En las inecuaciones, las variables suelen ser letras como x, y, z, etc. En la inecuación 2x+3>5, la variable es x.
SĆmbolo de la inecuación: El sĆmbolo de la inecuación es el signo que indica la relación de desigualdad entre los dos miembros de la inecuación. Los sĆmbolos mĆ”s comunes son:
- >: mayor que
- ā„: mayor o igual que
- <: menor que
- ā¤: menor o igual que
Por ejemplo, en la inecuación 2x+3>5, el sĆmbolo > indica que el primer miembro es mayor que el segundo miembro.
Intervalos
La solución de una inecuación se presenta como un intervalo, y no como solución Ćŗnica. Lo explicaremos mejor: una solución Ćŗnica es aquella que determina un Ćŗnico valor para una incógnita. Por ejemplo, x=2 indica que “x” vale 2 y no otro valor, tal y como sucedió en el tema de ecuaciones. Por otro lado, en las inecuaciones, un intervalo es un rango de valores que puede tomar una incógnita (a la que llamaremos variable porque puede variar en su valor) desde un “inicio” hasta un “fin”, de tal manera que los valores en ese rango cumplan con lo indicado con la inecuación. Por ejemplo, [3, 5] indica que “x” puede tomar cualquier valor desde el 3 hasta el 5, incluyendo nĆŗmeros decimales. No te preocupes por la notación que acabas de leer. Lo explicaremos a continuación.
Notación de intervalos
Antes de pasar a la representación de intervalos en la variedad de sus notaciones, te explicaremos quĆ© significan los sĆmbolos utilizados, en la tabla a continuación:

Nota: los infinitos siempre son abiertos.
Por ejemplo:

En el ejemplo, la solución de “x” estĆ” entre los valores que van desde -3 hasta 8, pero con las siguientes consideraciones:
- -3 estĆ” incluido en la solución, puesto que el sĆmbolo que lo acompaƱa es ā¤, le corresponde un corchete cerrado, “comiendo” al nĆŗmero -3, y en representación grĆ”fica le corresponde un punto pintado ā.
- 8 estĆ” excluido de la solución, puesto que el sĆmbolo que lo acompaƱa es <, le corresponde un corchete abierto, “dĆ”ndole la espalda” al nĆŗmero 8, y en representación grĆ”fica le corresponde un punto despintado āÆ.

Otros ejemplos:

Inecuaciones de Primer Grado
Las inecuaciones siguen un proceso similar a las ecuaciones, pero con desigualdades. Las ecuaciones vistas en el apartado anterior son un ejemplo de inecuaciones de primer grado.

Inecuaciones de Grado Superior
Podemos aplicar factorización y el método de Ruffini para encontrar las soluciones.
Aplicamos una tabla de evaluación para hallar los intervalos solución de la inecuación de grado superior a 1.


Con esto, la inecuación original quedarĆa asĆ:

Cada factor igualamos a cero y obtenemos las raĆces, que serĆ”n los lĆmites de los intervalos que evaluaremos para hallar la solución:

Los evaluamos en una tabla: En los divisores de las columnas colocaremos en los extremos, los infinitos, y en los divisores medios, las raĆces en el orden de la recta numĆ©rica. En las filas, colocaremos cada uno de los factores que vamos a evaluar. AdemĆ”s, como el sĆmbolo de la inecuación es mayor o igual que cero (), escogeremos los intervalos positivos (+) de la ley de signos de cada columna. Los puntos son pintados debido al sĆmbolo de la inecuación.

La solución es:

Es decir, que cualquier valor que sea menor a 1, o esté entre 2 y 3, o sea mayor que 4, incluidos los valores 1, 2, 3, y 4, al reemplazarlo en la inecuación cumplirÔ con la condición de esta.
Resources:
Learning activities:
Resuelve las siguientes ecuaciones

Resuelve las siguientes inecuaciones

Adaptaciones curriculares:
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