Dominio y rango de funciones

¿Alguna vez te has preguntado por qué ciertas funciones matemáticas parecen comportarse de maneras diferentes en ciertos puntos? Comprender el dominio y el rango de una función es esencial para entender estas diferencias. El dominio nos dice qué valores son aceptables como entrada para una función, mientras que el rango nos revela los posibles resultados de esas entradas. En esta lección, desentrañaremos estos conceptos y aprenderás a identificarlos con confianza.

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Learning goals:

• Definir claramente el concepto de dominio en una función.
• Explicar el concepto de rango en una función con claridad.
• Identificar el dominio y el rango en diferentes funciones.
• Aplicar reglas y pasos para hallar el dominio y el rango de una función.
• Utilizar ejemplos prácticos para reforzar tu comprensión de dominio y rango.

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Definición de Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (generalmente x) para los cuales la función está definida. En términos más simples, es el conjunto de todos los valores que podemos insertar en la función sin causar ningún problema, como dividir por cero o tomar la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplos de Dominio:

• Ejemplo 1: Para la función f(x)=x+2, el dominio son todos los números reales (R), ya que podemos sumar 2 a cualquier número sin restricciones.
• Ejemplo 2: Para la función g(x)=1/(x−1), el dominio es todos los números reales excepto x=1, porque dividir por cero no está definido.
  • Más formalmente: Dom(g)=R∖{1}

Definición de Rango

El rango de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (generalmente y) que se pueden obtener aplicando la función a los valores del dominio.

Ejemplos de Rango:

• Ejemplo 1: Para la función f(x)=x², el rango son todos los números reales no negativos (R₀⁺), ya que un número al cuadrado nunca es negativo.
  • Más formalmente: Rango(f)=[0,∞)
• Ejemplo 2: Para la función h(x)=2x−3, el rango son todos los números reales (R), ya que al multiplicar y restar no hay restricciones en los valores que y puede tomar.
  • Más formalmente: Rango(h)=R

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Pasos y reglas generales para hallar el Dominio y el Rango de funciones

Pasos para hallar el Dominio:

1. Identificar restricciones: Busca valores de xx que puedan causar problemas, como dividir por cero o tomar la raíz cuadrada de un número negativo.
2. Considerar el tipo de función: Diferentes tipos de funciones (polinomios, racionales, radicales, etc.) tienen diferentes restricciones naturales.
3. Escribir el Dominio: Expresa el dominio usando notación de conjuntos o intervalos, excluyendo cualquier valor que cause una restricción.

Ejemplos:

• Función Polinómica: f(x)=x3−4x+6
  • Dominio: R (todos los números reales, ya que no hay restricciones).
• Función Racional: g(x)=1/(x−2)
  • Dominio: R∖{2} (todos los números reales excepto x=2).
• Función Radical: h(x)= √(x+1)
  • Dominio: [−1,∞) (ya que x+1≥0).

Pasos para hallar el Rango:

1. Resolver para yy: Escribe la función en términos de yy, si es posible.
2. Determinar valores posibles de yy: Observa qué valores de yy se obtienen al usar todos los valores del dominio.
3. Utilizar propiedades de la función: Usa el tipo de función y su comportamiento (crecimiento, máximos y mínimos) para identificar valores de salida.

Ejemplos:

• Función Lineal: h(x)=2x−3
  • Rango: R (todos los números reales, ya que una línea recta continúa indefinidamente en ambas direcciones).
• Función Cuadrática: k(x)=x²
• Rango: [0,∞). Esto se debe a que x² siempre es mayor o igual a cero, sin importar el valor de x.
• Función Radical: f(x)= √(x−1)
• Rango: [0,∞). La raíz cuadrada de cualquier número no negativo siempre produce un número no negativo, comenzando desde cero.

Resources:

El vídeo trata sobre el dominio y el rango de una función. El vídeo explica el dominio y el rango de una función de tres maneras diferentes: (1) cuando tenemos conjuntos, (2) cuando tenemos la función, y (3) cuando tenemos una gráfica. El vídeo también explica cómo encontrar el dominio y el rango de una función cuando tenemos una gráfica.

Learning activities:

Adaptaciones curriculares:

Crea un resumen o explica oralmente lo aprendido en esta lección.