Concepto de función

Imagina un mundo donde cada acción tiene una reacción predecible, donde cada causa tiene un efecto claro y definido. Esto es esencialmente lo que representan las funciones matemáticas en el mundo de las estadísticas y más allá. Las funciones nos permiten entender y predecir comportamientos, desde el crecimiento de una población hasta el rendimiento de una inversión. ¡Sumérgete en este fascinante mundo donde las matemáticas se encuentran con la realidad!

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Learning goals:

• Comprender el concepto de función y su importancia en matemáticas y estadística.
• Identificar y definir una función a partir de distintos ejemplos.
• Reconocer gráficamente una función y diferenciarla de otras relaciones.
• Determinar si una relación entre conjuntos es una función utilizando reglas específicas.
• Aplicar el concepto de función en problemas prácticos y situaciones reales.

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¿Cómo reconocer gráficamente una función?

Para reconocer gráficamente una función, debes seguir estos lineamientos:

1. Prueba de la línea vertical: Una gráfica representa una función si y solo si cada línea vertical que se dibuja en el plano interseca la gráfica en no más de un punto. Si alguna línea vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces no es una función.
2. Relación unívoca: Cada valor de xx tiene asociado uno y solo un valor de yy. En términos gráficos, esto significa que para cada valor de xx en el eje horizontal, hay un solo punto correspondiente en la gráfica.
3. Continuidad y comportamiento: Observa la gráfica para entender si sigue un patrón o regla definida para cada entrada (input).

Determinación de una función por relación entre conjuntos

Para determinar una función a partir de la relación entre dos conjuntos, considera los siguientes aspectos:

Reglas para determinar una función:

1. Unívoca: Cada elemento del conjunto de partida (dominio) debe estar relacionado con un único elemento del conjunto de llegada (codominio).
2. Completitud: Todos los elementos del dominio deben tener una imagen en el codominio.
3. Consistencia: Si un elemento aa del dominio se relaciona con un elemento bb del codominio, no puede relacionarse con otro diferente.

Ejemplo: Supongamos que tenemos dos conjuntos:

• Dominio: {1, 2, 3}
• Codominio: {a, b, c}

Una relación que puede ser una función es:

• 1 → a
• 2 → b
• 3 → c

Cada elemento del dominio tiene un único correspondiente en el codominio, cumpliendo con las reglas para ser una función.

Elementos de una Función

Una función matemática se define como una relación entre dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto (dominio) se asocia con un único elemento del segundo conjunto (codominio). Los elementos fundamentales de una función son:

1. Dominio (D): Conjunto de todos los valores posibles de entrada o argumentos de la función.
2. Codominio (C): Conjunto de todos los valores posibles de salida que se pueden obtener mediante la función.
3. Imagen: Conjunto de valores específicos del codominio que la función realmente toma.
4. Regla de correspondencia: Relación específica que define cómo cada elemento del dominio se asigna a un elemento del codominio.

Estructura de una Función

Una función matemática puede ser representada de varias maneras: algebraica, gráfica, verbal y tabular. Aquí se describe la estructura básica de una función en cada forma de representación:

1. Forma algebraica:
   • Se expresa mediante una fórmula o una ecuación.
   • Ejemplo: y=2x+3y = 2x + 3
2. Forma gráfica:
   • Se dibuja en un plano cartesiano, mostrando la relación entre las variables independientes (x) y dependientes (y).
   • Ejemplo: La gráfica de y=2x+3y = 2x + 3 es una línea recta con pendiente 2 y una intersección y en 3.
3. Forma verbal:
   • Se describe en palabras cómo se relacionan las variables.
   • Ejemplo: “La función que relaciona la distancia recorrida (y) con el tiempo (x) es tal que la distancia es dos veces el tiempo más tres.”
4. Forma tabular:
   • Se muestra una tabla con valores específicos de las variables independientes y dependientes.
   • Ejemplo:

Variable Dependiente e Independiente

En una función, las variables se dividen en dos tipos:

1. Variable Independiente (x): Es la variable que se manipula o se elige libremente. Representa los valores de entrada o argumentos de la función.
2. Variable Dependiente (y): Es la variable que depende de los valores de la variable independiente. Representa los valores de salida o respuestas de la función.

Ejemplos

Ejemplo 1: Función de ventas

V(p)=10⋅p

En esta función:

• Variable independiente (p): Número de productos vendidos.
• Variable dependiente (V): Total de ventas en dólares.

Ejemplo 2: Función de conversión de temperatura

F(C)=(9/5) C+32

En esta función:

• Variable independiente (C): Temperatura en grados Celsius.
• Variable dependiente (F): Temperatura en grados Fahrenheit.

Resources:

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Learning activities:

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1: Reconocer Variables Dependiente e Independiente

Resuelve los siguientes problemas matemáticos identificando la variable dependiente y la variable independiente en cada función.

Ejercicio 2: Determinar si una Relación es una Función

Para los siguientes ejercicios, indica si las expresiones matemáticas dadas representan funciones.

Ejercicio 3: Determinar si una Relación es una Función

En estos ejercicios, se usan representaciones visuales y respuestas de selección múltiple para facilitar la comprensión y reducir la carga de escritura.

1. Observa la gráfica de una línea recta inclinada. ¿Es una función?
   • ( ) Sí
   • ( ) No
2. En un diagrama de Venn, se muestra la relación entre dos conjuntos de números. Si cada número en el primer conjunto está conectado con un solo número en el segundo conjunto, ¿es esto una función?
   • ( ) Sí
   • ( ) No
3. En un gráfico de barras, cada barra representa una relación única entre dos conjuntos. ¿Es una función?
   • ( ) Sí
   • ( ) No
4. Observa un gráfico donde una parábola abre hacia arriba. ¿Representa una función?
   • ( ) Sí
   • ( ) No
5. En una tabla que relaciona diferentes tipos de fruta con su precio, si cada tipo de fruta tiene un precio único, ¿es esto una función?
   • ( ) Sí
   • ( ) No

Adaptaciones curriculares:

Ejercicio 1: Reconocer Variables Dependiente e Independiente

Estos ejercicios están diseñados para ser más visuales y con menos necesidad de escritura, ayudando a aquellos con problemas motrices o dificultad de aprendizaje.

1. Observa la gráfica de la línea recta y=2x+3y = 2x + 3. Identifica la variable que cambia independientemente.
2. Mira el gráfico de barras que muestra cómo la cantidad de horas de estudio (x) afecta el puntaje en una prueba (y). ¿Cuál es la variable dependiente?
3. Usa una tabla que relaciona el tiempo (t) en días con el crecimiento de una planta (h) en centímetros:Identifica las variables dependiente e independiente.